ダビングとは

本来は、映画や放送の録音において、編集を終えた音フィルムに、アフター・レコーディングの形で伴奏音楽や音響効果などを追加録音して1本のフィルムまたはテープにまとめることを指しました。
現在では、この意味から外れ、または範囲を拡大して、記録内容のコピーやムーブなどの操作を包括することばとして使われることが多いです。
日本ではコンパクトカセットやVHSなどの記録内容を2台のデッキを接続して複製したり、CDラジカセなどを用いて音楽CDをコンパクトカセット等に録音することに使われました。
DVDレコーダー・BDレコーダーでは、ハードディスクドライブに録画した映像をDVD・BDメディアに転送すること（コピー／ムーブ）をダビングといい。必ずしも複製とは必ずしも一致しません。

コピーとは

「コピー」とは、映像・音声・文章(テキスト)などをそのままの形で複写することや複製することを意味しています。また「コピー」というのは、オリジナルの映像・音声・テキストなどのデータを完全な形で複製したもののことを示しています。「コピー」という言葉には「ブランドもののコピー」のように、「本物(オリジナル)ではなくて本物に似せてつくったもの」という意味合いもあります。

ダビング」も「コピー」も「オリジナル(原本)の映像・音声を複写したり複製したりすること」を意味している点では同じなのですが、「コピー」という言葉は「映像(動画)・音声以外のテキスト・データなども含めた複製・複写」のことを意味している違いがあります。
「コピー」は「ダビング」と比べると、複写したり複製したりする内容が劣化しない前提がある(完全に複製する前提がある)という違いを指摘できます。